Il numero e e la multimedialità

Come abbiamo detto precedentemente il povero Napier dedicò vent’anni della sua vita, dal 1594 al 1614, per svolgere dei calcoli noiosi e ripetitivi. Oggi fortunatamente potremmo svolgere gli stessi calcoli in pochissimo tempo, questro grazie alla tecnologia.
Esistono tanti prodotti software per la didattica della matematica, dedicati ora all'approfondimento di concetti, ora allo sviluppo di esercitazioni, che sfruttano talora effettivamente le capacità multimediali dell'informatica e talora soltanto quelle del calcolo. Ma la scelta di eventuali supporti software per l'insegnamento va fatta con la massima oculatezza.

Oggi il calcolatore è lo strumento di calcolo fondamentale di quasi tutte le professioni: esso sostituisce o integra tutti gli strumenti di calcolo che utilizzava il nostro Nepero: tavole, righe, compassi, ecc.... Infatti oggi si disegna con il calcolatore (studi di pubblicità, progetto tecnico, ...), le tavole numeriche sono in disuso perché sostituite dai calcolatori e la stessa calcolatrice da tasca è ormai essa stessa un calcolatore. Una lettura "moderna" dei programmi ministeriali include dunque l'uso del calcolatore e dei suoi programmi come strumento. Utilizzando semplici programmi di calcolo, che permettono di presentare i risultati anche in forma grafica, ci si concentra sui risultati ottenuti, richiamando quindi l'attenzione degli allievi più sul significato dei risultati che non sulla tecnica di calcolo (ad esempio nei calcoli statistici e probabilistici). Un utile strumento didattico si può trarre da fogli elettronici, ottenendo due risultati: da un lato iniziare gli allievi ad un uso di un potente strumento professionale e dall'altro approfondire molti concetti inclusi nei programmi di insegnamento. Con essi è infatti possibile, ad esempio, creare tabelle di varia natura, dedurre da queste istogrammi e grafici vari, mostrare i concetti di approssimazione, etc.

Un capitolo a parte e per Internet. Una delle attività che si potrebbero svolgere in una classe potrebbe essere quella di una analisi del materiale esistente in Internet ai fini di trovare informazioni sul numero e o su altri argomenti di approfondimento. I problemi da risolvere sono però molteplici: la quantità delle informazioni disponibili e la qualità delle stesse. E' necessario che lo studente sia in grado di estrapolare le informazioni più importanti e di scegliere criticamente i siti dai quali vengono prese. Un altro problema, in una attività di questo genere, è la lingua: infatti molto materiale significativo è in inglese.

Bisogna sicuramente far utilizzare agli studenti questo potentissimo strumento ma bisogna guidarli e accompagnarli come se facessero un viaggio di istruzione in un paese straniero. Il rischio è quello di perdersi!

Eulero e la lettera e

Classe a cui è diretta l'U.D.

Questa U.D. può essere fatta apportando alcune modifiche a più classi:

mella classe terza di un istituto tecnico commerciale se non viene affrontato il calcolo del numero e attraverso i limiti.

In una clesse quarta se invece lo si affronta con i limiti.

Finalità

Oltre a far conoscere agli studenti come venne determinato il numero e, questa U.D. è molto importante perchè fa comoscere agli studenti chi fu Eulero. Eulero colui che diede i nomi a quasi tutti i numeri più importanti (π,i ed e). Far capire ai ragazzi l'importanza della simbologia nella matematica.

Tempi

Per questa U.D. sono necessarie 2 ore.

Contenuti

Chi si occupò per primo del numero e e chi lo chiamò così?

Tra i primi ad occuparsi nel 1683 di calcolare il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito fu Jacob Bernoulli usando per questo il teorema del binomio. Questo teorema consente di esprimere la formula (a+b)n come la somma di n+1 termini nella forma an-kbk, dove k=0,1,2,…,n. I coefficienti dei vari termini formano uno schema triangolare conosciuto come il Triangolo di Pascal, dal matematico che per primo notò che ogni coefficiente binomiale è dato dalla somma dei due numeri immediatamente alla sua destra e alla sua sinistra nella riga superiore.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…..

Fu Leibniz, tra i primi, a riconoscere ufficialmente il numero e. In una lettera indirizzata a Huygens, del 1690, usa la lettera b per indicare questo numero che finalmente ottiene un nome, anche se non era ancora quello che noi usiamo oggi.
Fu invece Leonhard Euler il primo ad utilizzare il simbolo e, simbolo a noi familiare. Nato a Basilea il 15 aprile 1707 e morto a San Pietroburgo 18 settembre 1783, Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, è considerato il più importante matematico dell’illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, lavora in svariate aree: analisi infinitesimale, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.
L’accademico francese Francois Arago diceva che Eulero era in grado di fare calcoli senza alcuno sforzo apparente, con la stessa naturalezza con cui “ gli uomini respirano e le aquile si mantengono in aria”.
Infatti Eulero riusciva a scrivere le sue memorie matematiche mentre giocava con i suoi figli.
Eulero introdusse la lettera e per rappresentare la base del sistema dei logaritmi neperiani nel suo manoscritto Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta (Meditazioni sugli esperimenti fatti recentemente sul fuoco dei cannoni), scritto alla fine del 1727 o all’inizio del 1728 (quando Eulero aveva solo 21 anni). Il manoscritto fu stampato per la prima volta nel 1862 nell’ Opera postuma mathematica et physica, Petropoli, edizione P. H. Fuss and N. Fuss (vol ii, pp. 800-804). Il manoscritto descrive sette esperimenti sviluppati tra il 21 agosto e il 2 settembre 1727:
“For the number whose logarithm is unity, let e be written, which is 2,7182817... [sic] whose logarithm is 0,4342944... “

Eulero utilizzò ancora il simbolo e in una sua lettera a Goldbach datata 25 novembre1731, scrivendo: “ quel numero il cui logaritmo iperbolico = 1." Ma la prima apparizione di e in un’opera pubblica fu nell’opera di Eulero Mechanica (1736), nella quale la dinamica newtoniana veniva presentata in forma analitica.

Maor scrisse:
“Why did he choose the letter e? There is no general consensus. According to one view, Euler chose it because it is the first letter of the word exponential. More likely, the choice came to him naturally as the first "unused" letter of the alphabet, since the letters a, b, c, and d frequently appear elsewhere in mathematics. It seems unlikely that Euler chose the letter because it is the initial of his own name, as occasionally been suggested: he was an extremely modest man and often delayed publication of his own work so that a colleague or student of his would get due credit. In any event, his choice of the symbol e, like so many other symbols of his, became universally accepted.”

Autori come Boyer suggeriscono che probabilmente la scelta fu determinate dal fatto che e è la prima lettera della parola esponenziale o forse del nome Eulero, (sarebbe stato un eccesso di narcisismo del grande matematico) ma più semplicemente si pensa che Eulero scelse e perché è la prima vocale che segue la a, lettera che aveva già usato in altri suoi lavori.
Ball disse: "It is probable that the choice of e for a particular base was determined by its being the vowel consecutive to a." e nel 1995, in un forum di discussione matematico (sci.math) ancora si parla di questo argomento: "I believe that e was not named because it was the first letter in Euler's name, but rather because he was using vowels for constants in a proof of his and e happened to be the second one."
E ancora nel 1999: "The hypothesis made by my friend Etienne Delacroix de La Valette was that e was for 'ein' (one in German) or 'Einheit' (unity), which would be matching the sentence Euler uses to define it (whose logarithm is unity). As always, many explanations may be true at the same time."
Benjamin Peirce, professore di matematica di Harvard nel 1840, invece suggerì un’innovativa notazione dei simboli π ed e:

Tratta da J. D. Runkin's Mathematical Monthly, vol. I, No. 5, Feb. 1859

Non spetta a noi giudicare le scelte fatte dai matematici, ma solo riflettere su queste scelte: sapere che da centinaia di anni ci si interroga sul perchè si sia scelta la lettera e per descrivere il numero 2.718... fa capire ai ragazzi l'importanza dei simboli.

Nepero e i logaritmi

Classe a cui è diretta l'U.D.

Il programma di questa U.D. viene inserito nella programmazione annuale della classe III di un Istituto Tecnico Commerciale o in una classe III di un Liceo Scientifico.

Finalità

L’unità didattica viene proposta alla classe in quanto la funzione esponenziale è una delle funzioni più importanti in matematica. Essa gioca un ruolo cruciale nella teoria delle equazioni differenziali, in probabilità e in matematica applicata. Il riferimento storico ha risvolti molto profondi in quanto funge da chiarificatore dei concetti che si stanno analizzando, favorendone la comprensione. Mette in luce quali e quante sono state le difficoltà che i grandi matematici hanno incontrato in questo particolare contesto, mettendo così in evidenza gli ostacoli epistemologici insiti nell’argomento stesso ed induce i ragazzi a confrontarsi con contraddizioni ed a sviluppare proprie ipotesi e linee di discussione.

Tempi

L'U.D. richiede 4 ore

Contenuti

Sembra che le origini del numero e vadano ai primi del diciassettesimo secolo quando John Napier (italianizzato Giovanni Nepero), nato a Merchiston Castle (Edimburgo) nel 1550 e morto il 4 aprile1617 a Edimburgo, pubblicò in un’appendice di un suo lavoro (edito postumo nel 1618) una tavola che riportava i logaritmi in base e di diversi numeri. La tavola non riportava però il nome dell’autore e potrebbe quindi non essere di Nepero.
Quel periodo fu marcato da un enorme crescita nel commercio internazionale e dal proliferare delle operazioni finanziarie, come risultato di tutto ciò, una grande attenzione fu riposta alla legge di interesse composto, ed è possibile che il numero e ricevette il suo primo riconoscimento in questo contesto.
John Napier infatti non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero scozzese di famiglia nobile che passava il suo tempo amministrando i suoi vasti possedimenti e interessandosi solo ad alcuni aspetti della matematica: quelli che si riferivano al computo ed alla trigonometria.
Nepero lavorò per venti anni sui logaritmi, fino a pubblicare nel 1614 la Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi). In questa opera dedica 37 pagine alla descrizione della possibilità di utilizzare funzioni inverse di funzioni esponenziali per semplificare i calcoli che richiedono moltiplicazioni.

"Nulla è più penoso della pratica delle matematiche, poiché la logistica è tanto più frenata, ritardata, quanto più le moltiplicazioni, le divisioni e le estrazioni di radice quadrate e cubiche sono da applicare a grandi numeri; poiché essa (la logistica) è assoggettata alla fatica di lunghe operazioni e molto più ancora alla incertezza degli errori. Io ho cominciato a cercare attraverso a quale procedimento rapido e preciso si potrebbero superare questi ostacoli...."

L’origine della sua idea si fa risalire all’ incontro tra Napier e il dott. John Craig, medico personale di Giacomo IV di Scozia. Craig riferì a Napier dell’uso in Danimarca della “meravigliosa tecnica matematica” della prostaferesi, largamente utilizzata per fare i calcoli.
Seguiamo le riflessioni di Eli Maor sulla determinazione della base dei logaritmi, da parte di John Napier.
“La linea di pensiero di Napier era questa: se possiamo scrivere qualsiasi numero positivo come potenza di un dato numero fisso, chiamato in seguito base, allora la moltiplicazione e la divisione dei numeri diventa equivalente all’addizione e sottrazione dei loro esponenti. Inoltre, elevare un numero alla potenza ennesima, cioè moltiplicare il numero per se stesso n volte, sarebbe equivalente ad addizionare l’esponente n volte a se stesso, cioè moltiplicarlo per n, e trovare la radice ennesima di un numero sarebbe equivalente a n sottrazioni ripetute, cioè alla divisione per n. In breve, ogni operazione aritmetica verrebbe abbassata di un livello nella gerarchia delle operazioni, riducendo quindi notevolmente la fatica del calcolo numerico.”

Vediamo come funziona questa idea scegliendo come base il numero 2. La tabella seguente riporta le potenze del 2, da n = - 5 a n = 5.

X = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2^x = 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 2, 4, 8, 16, 32.

Tab. 3. funzione esponenziale scegliamo una base 2.

Supponiamo di voler moltiplicare 4 per 8. Vediamo dalla tabella che gli esponenti corrispondenti a questi due numeri sono rispettivamente 2 e 3. Sommando questi esponenti otteniamo 5. Ora procediamo in senso inverso, cercando il numero al quale corrisponde l’esponente 5. Questo numero è 32 e questa è la nostra risposta.
Come secondo esempio, pensiamo di voler calcolare 45. Cerchiamo l’esponente corrispondente a 4, cioè 2 e moltiplichiamolo ora per 5, ottenendo 10. Cerchiamo poi il numero corrispondente a 10 e troviamo 1024. Ed è proprio
45 = (22)5 = 210 = 1024
Questo metodo sarebbe interessante soltanto se potesse essere usato con qualsiasi numero, intero o fratto. Ma per fare questo dobbiamo scegliere come base un numero sufficientemente piccolo in modo che le sue potenze crescano abbastanza lentamente.
Per mantenere molto vicini tra loro i termini di una progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come numero dato una cifra molto vicina all’uno. Dopo anni di tentativi , Napier si decise per il numero 0,9999999, ovvero 1 – 10-7. La scelta di Napier fu dettata dalla necessità di usare il meno possibile frazioni decimali. In generale, le frazioni erano ovviamente in uso da migliaia di anni, ma venivano quasi sempre scritte semplicemente come rapporto di numeri interi. Le frazioni decimali – l’estensione del nostro sistema di numerazione decimale ai numeri inferiori a 1 – erano state introdotte soltanto poco tempo prima in Europa (da Simon Stevin, 1548 – 1620), e non erano ancora molto in uso. Con la scelta del numero 1 – 10-7 i termini della progressione geometrica delle potenze crescenti sono effettivamente vicini tra loro. Per ottenere maggiore equilibrio e per evitare cifre decimali Napier moltiplicò ciascuna potenza per 107 . Ossia, se N = 107(1 – 10-7)L , allora L è il logaritmo neperiano del numero N.
A questo punto si prefisse il compito di trovare, con noiose sottrazioni ripetute, i termini della sua progressione. Questo deve essere stato sicuramente uno dei compiti meno piacevoli che uno scienziato potesse affrontare, ma Napier se ne fece carico, dedicando vent’anni della sua vita, dal 1594 al 1614, per completare il lavoro. La sua tavola iniziale comprendeva soltanto 101 valori, poi Napier ripeté questo procedimento diverse volte ottenendo una seconda tavola contenente 51 valori, poi una terza tavola contenente 21 valori e infine da ciascun valore di quest’ultima tavola Napier creo 69 ulteriori valori. Certo, oggi un tale lavoro spetterebbe al computer, perfino una calcolatrice tascabile potrebbe svolgere questo lavoro in poche ore. Ma Napier fu obbligato a svolgere tutti i suoi calcoli soltanto con carta e penna. E si può quindi capire la sua intenzione di ridurre al minimo l’uso delle frazioni decimali. Come egli stesso scrisse:
“Nel costruire questa progressione [i valori della seconda tabella], poiché il rapporto tra 10 000 000 ,00000, il primo della seconda tavola, e 9 995 001,222927, l’ultimo della medesima, è complicato, allora calcola i 21 numeri nel rapporto più semplice di 10 000 a 9 995, che è sufficiente come approssimazione. L’ultimo di questi, se non avrai fatto errori, sarà 9 900 473,57808”.

Dopo aver finito questo lavoro grandioso, a Napier non restava che battezzare la sua creazione. Dapprima chiamò l’esponente di ogni potenza il suo “numero artificiale”, ma più tardi decise di adottare il termine logaritmo, parola di origine greca che significa “rapporto numerico”.
La definizione di logaritmo, data da Napier, differisce sotto molti aspetti dalla definizione moderna. Queste differenze sono il risultato dell’insistenza di Nepero per la semplificazione dalle frazioni decimali.
Nepero, infatti, senza rendersene conto arrivò a un soffio dalla scoperta di un numero che, un secolo più tardi, sarebbe stato riconosciuto come base universale dei logaritmi e che avrebbe giocato in matematica un ruolo importante, secondo soltanto a . Questo numero, e, è il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito.

Legge di capitalizzazione composta

Classe a cui è diretta l'U.D.

Parlare del numero e ed in particolare delle sue radici storiche ci permette di introdurre un argomento della metematica finanziaria che solitamente viene trattato in modo schematico e poco piacevole: la legge di capitalizzazione composta la quale viene insegnata nella classe terza degli istituti Tecnico Commerciali.

Finalità

Lobiettivo dell'U.D. è riuscire a far ragionare lo studente sulle problematiche reali che hanno portato allo sviluppo delle leggi finanziarie. Di far comprendere ciò che cercano di risolvere e di non vedere la matematica finanziaria come un insieme di formule senza un perchè!

Tempi

L’unità didattica richiede un tempo di svolgimento di 2 ore.

Contenuti

Esaminiamo come funziona la legge della capitalizzazione composta, lasciando però alla fine non una certezza ma una domanda in modo tale che lo studente rimanga curioso di scoprire ancora nuove vicende che riguardano il nostro famoso numero e.

Supponiamo di investire 100€ (capitale) in un conto che paga il 5% di interesse composto annualmente. Alla fine dell’anno il nostro montante sarà 100x1.05=105€. La banca considererà il montante ottenuto, come il nuovo capitale che verrà rinvestito allo stesso tasso. Alla fine del secondo anno avremo 105x1.05=110.25€, alla fine del terzo anno 110.25x1.05=115.76€ e così via.
Vediamo così che il montante cresce in una progressione geometrica di ragione 1.05. Al contrario, in un conto che paga solo l’interesse semplice annuale del 5% applicato al capitale di 100€, aumenterà di 5€ dandoci la progressione aritmetica 100, 105, 110, 115 e così via. Chiaramente il capitale investito a tasso d’interesse composto cresce più velocemente rispetto a quello investito a tasso d’interesse semplice. Da questo esempio è facile vedere cosa succede nel caso generale.
Supponiamo di investire P euro in un conto che paga r% di interesse composto annualmente. Questo significa che alla fine del primo anno il nostro bilancio sarà di P(1+r), alla fine del secondo anno sarà P(1+r)2, e così via; dopo t anni il montante sarà P(1+r)t. Indicando il montante con S, arriviamo alla formula:

S=P(1+r)t

Questa formula è alla base di tutti i calcoli finanziari. Proviamo a calcolare l’interesse per più periodi l’anno. Ad esempio se il tasso d’interesse annuale del 5% è composto semestralmente, il tasso del periodo sarà metà del tasso d’interesse annuale. Così in un anno il capitale di 100€ sarà composto due volte, ogni volta con tasso 2.5%; questo ammonterà a 100x1.0252 =105.0625€, circa 6 centesimi di più rispetto a quello che otterremmo con l’interesse composto annualmente.
Nel settore bancario troviamo tutti gli schemi possibili dell’interesse: annuale, semestrale, trimestrale, settimanale, anche giornaliero.
Supponiamo che il calcolo sia fatto n volte l’anno, per ogni periodo di conversione la banca usa l’interesse annuale diviso per n: r/n. Durante t anni ci saranno nt periodi di conversione, e il capitale dopo t anni sarà uguale al montante:

S=P(1+r/n)nt

Può essere interessante comparare l’ammontare di denaro che un capitale produce dopo un anno usando differenti periodi di conversione, assumendo un uguale interesse annuale. Prendiamo come esempio P=100€ e r=5%, come possiamo vedere nella tabella 1 il capitale di 100€ calcolato giornalmente ci dà 13 centesimi di più rispetto di uno composto annualmente.

Tabella 1. Investimento per 1 anno all’interesse annuo del 5%
a differenti periodi di conversione

Per approfondire questa questione, consideriamo un caso speciale dell’equazione 2, il caso in cui r=1. questo vuol dire che l’interesse annuale è del 100%, (sicuramente nessuna banca ci farà una così generosa offerta!). Assumiamo che P=1€ e t=1 anno. L’equazione diventa:

S=(1+1/n)n

Vediamo come varia al variare di n.

Tab. 2.variazione del montante
al variare di n

Sembra che qualsiasi ulteriore incremento in n difficilmente varierà il risultato, le variazioni saranno sempre meno significative.
Ma questo andamento continuerà andando avanti? E’ possibile che non influisca quanto grande sia n, il valore di (1+1/n)n sarà sempre vicino al numero 2.71828?
Non sappiamo chi per primo abbia notato la peculiarità dell’espressione (1+1/n)n con n che va a infinito, quindi la data di nascita del numero che verrà chiamato più tardi con e rimane oscura.

Radici storiche

Il numero e è un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni; per lo studio, ad esempio, del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici. Partiremo dalle radici storiche di questo numero, dalle sue applicazioni a problemi economici, dai primi che si sono chiesti quale sia il miglior investimento di un capitale, come questo possa aumentare nel tempo, e quale interesse ne avrebbero potuto ricavare. Far fruttare il denaro è una preoccupazione antica, che risale alle origini del pensiero matematico. Ecco un problema riportato su una tavoletta babilonese , conservata al Louvre di Parigi, del 1700 a. C.:

“Quanto tempo ci vorrà – chiede l’anonimo autore – perché una certa somma di denaro raddoppi, se ogni anno aumenta del 20%?”

Formulando questo problema con il linguaggio dell’algebra, notiamo che alla fine di ogni anno la somma aumenta del 20%, cioè di un fattore 1.2; quindi dopo x anni la somma sarà uguale 1.2X. Se dovrà uguagliare il doppio della somma originale, avremo 1.2X =2.
Per risolvere questa equazione, dobbiamo usare i logaritmi, che i babilonesi non conoscevano, tuttavia furono in grado di ottenere una soluzione approssimata osservando che 1,23 = 1,728 e 1,24 = 2,0736, poterono affermare che 3 < x =" 3,8018.">

Introduzione

La matematica proprio come la musica può stimolare e alimentare un modo supremo del pensiero, ampliando la felicità di coloro che la creano o la capiscono. Le equazioni possono essere paragonate alla poesia; come la poesia ci aiuta a sondare i misteri dell'invisibile e i margini dell'universo.

La scoperta dei numeri ha rivoluzionato la vita degli uomini, i numeri infatti non sono una invenzione dell’umanità, ma sono una scoperta. I numeri sono un linguaggio che tutti noi utilizziamo ogni giorno della nostra vita.

Tra tutti i numeri fino ad ora scoperti alcuni sono di una bellezza e di una perfezione quasi non comprensibili. Tra questi numeri troviamo il numero di Nepero o di Eulero, il numero e!

Una volta pensavamo che conoscendo uno avremmo conosciuto due, perché uno e uno fanno due. Ora scopriamo che abbiamo ancora molto da imparare a proposito di «e».

Sir Arthur Eddington (1882-1944)