Classe a cui è diretta l'U.D.
Il programma di questa U.D. viene inserito nella programmazione annuale della classe III di un Istituto Tecnico Commerciale o in una classe III di un Liceo Scientifico.
Finalità
L’unità didattica viene proposta alla classe in quanto la funzione esponenziale è una delle funzioni più importanti in matematica. Essa gioca un ruolo cruciale nella teoria delle equazioni differenziali, in probabilità e in matematica applicata. Il riferimento storico ha risvolti molto profondi in quanto funge da chiarificatore dei concetti che si stanno analizzando, favorendone la comprensione. Mette in luce quali e quante sono state le difficoltà che i grandi matematici hanno incontrato in questo particolare contesto, mettendo così in evidenza gli ostacoli epistemologici insiti nell’argomento stesso ed induce i ragazzi a confrontarsi con contraddizioni ed a sviluppare proprie ipotesi e linee di discussione.
Tempi
L'U.D. richiede 4 ore
Contenuti
Sembra che le origini del numero e vadano ai primi del diciassettesimo secolo quando John Napier (italianizzato Giovanni Nepero), nato a Merchiston Castle (Edimburgo) nel 1550 e morto il 4 aprile1617 a Edimburgo, pubblicò in un’appendice di un suo lavoro (edito postumo nel 1618) una tavola che riportava i logaritmi in base e di diversi numeri. La tavola non riportava però il nome dell’autore e potrebbe quindi non essere di Nepero.
Quel periodo fu marcato da un enorme crescita nel commercio internazionale e dal proliferare delle operazioni finanziarie, come risultato di tutto ciò, una grande attenzione fu riposta alla legge di interesse composto, ed è possibile che il numero e ricevette il suo primo riconoscimento in questo contesto.
John Napier infatti non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero scozzese di famiglia nobile che passava il suo tempo amministrando i suoi vasti possedimenti e interessandosi solo ad alcuni aspetti della matematica: quelli che si riferivano al computo ed alla trigonometria.
Nepero lavorò per venti anni sui logaritmi, fino a pubblicare nel 1614 la Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi). In questa opera dedica 37 pagine alla descrizione della possibilità di utilizzare funzioni inverse di funzioni esponenziali per semplificare i calcoli che richiedono moltiplicazioni.
"Nulla è più penoso della pratica delle matematiche, poiché la logistica è tanto più frenata, ritardata, quanto più le moltiplicazioni, le divisioni e le estrazioni di radice quadrate e cubiche sono da applicare a grandi numeri; poiché essa (la logistica) è assoggettata alla fatica di lunghe operazioni e molto più ancora alla incertezza degli errori. Io ho cominciato a cercare attraverso a quale procedimento rapido e preciso si potrebbero superare questi ostacoli...."
L’origine della sua idea si fa risalire all’ incontro tra Napier e il dott. John Craig, medico personale di Giacomo IV di Scozia. Craig riferì a Napier dell’uso in Danimarca della “meravigliosa tecnica matematica” della prostaferesi, largamente utilizzata per fare i calcoli.
Seguiamo le riflessioni di Eli Maor sulla determinazione della base dei logaritmi, da parte di John Napier.
“La linea di pensiero di Napier era questa: se possiamo scrivere qualsiasi numero positivo come potenza di un dato numero fisso, chiamato in seguito base, allora la moltiplicazione e la divisione dei numeri diventa equivalente all’addizione e sottrazione dei loro esponenti. Inoltre, elevare un numero alla potenza ennesima, cioè moltiplicare il numero per se stesso n volte, sarebbe equivalente ad addizionare l’esponente n volte a se stesso, cioè moltiplicarlo per n, e trovare la radice ennesima di un numero sarebbe equivalente a n sottrazioni ripetute, cioè alla divisione per n. In breve, ogni operazione aritmetica verrebbe abbassata di un livello nella gerarchia delle operazioni, riducendo quindi notevolmente la fatica del calcolo numerico.”
Quel periodo fu marcato da un enorme crescita nel commercio internazionale e dal proliferare delle operazioni finanziarie, come risultato di tutto ciò, una grande attenzione fu riposta alla legge di interesse composto, ed è possibile che il numero e ricevette il suo primo riconoscimento in questo contesto.
John Napier infatti non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero scozzese di famiglia nobile che passava il suo tempo amministrando i suoi vasti possedimenti e interessandosi solo ad alcuni aspetti della matematica: quelli che si riferivano al computo ed alla trigonometria.
Nepero lavorò per venti anni sui logaritmi, fino a pubblicare nel 1614 la Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi). In questa opera dedica 37 pagine alla descrizione della possibilità di utilizzare funzioni inverse di funzioni esponenziali per semplificare i calcoli che richiedono moltiplicazioni.
"Nulla è più penoso della pratica delle matematiche, poiché la logistica è tanto più frenata, ritardata, quanto più le moltiplicazioni, le divisioni e le estrazioni di radice quadrate e cubiche sono da applicare a grandi numeri; poiché essa (la logistica) è assoggettata alla fatica di lunghe operazioni e molto più ancora alla incertezza degli errori. Io ho cominciato a cercare attraverso a quale procedimento rapido e preciso si potrebbero superare questi ostacoli...."L’origine della sua idea si fa risalire all’ incontro tra Napier e il dott. John Craig, medico personale di Giacomo IV di Scozia. Craig riferì a Napier dell’uso in Danimarca della “meravigliosa tecnica matematica” della prostaferesi, largamente utilizzata per fare i calcoli.
Seguiamo le riflessioni di Eli Maor sulla determinazione della base dei logaritmi, da parte di John Napier.
“La linea di pensiero di Napier era questa: se possiamo scrivere qualsiasi numero positivo come potenza di un dato numero fisso, chiamato in seguito base, allora la moltiplicazione e la divisione dei numeri diventa equivalente all’addizione e sottrazione dei loro esponenti. Inoltre, elevare un numero alla potenza ennesima, cioè moltiplicare il numero per se stesso n volte, sarebbe equivalente ad addizionare l’esponente n volte a se stesso, cioè moltiplicarlo per n, e trovare la radice ennesima di un numero sarebbe equivalente a n sottrazioni ripetute, cioè alla divisione per n. In breve, ogni operazione aritmetica verrebbe abbassata di un livello nella gerarchia delle operazioni, riducendo quindi notevolmente la fatica del calcolo numerico.”
Vediamo come funziona questa idea scegliendo come base il numero 2. La tabella seguente riporta le potenze del 2, da n = - 5 a n = 5.
X = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2^x = 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 2, 4, 8, 16, 32.
Tab. 3. funzione esponenziale scegliamo una base 2.
Supponiamo di voler moltiplicare 4 per 8. Vediamo dalla tabella che gli esponenti corrispondenti a questi due numeri sono rispettivamente 2 e 3. Sommando questi esponenti otteniamo 5. Ora procediamo in senso inverso, cercando il numero al quale corrisponde l’esponente 5. Questo numero è 32 e questa è la nostra risposta.
Come secondo esempio, pensiamo di voler calcolare 45. Cerchiamo l’esponente corrispondente a 4, cioè 2 e moltiplichiamolo ora per 5, ottenendo 10. Cerchiamo poi il numero corrispondente a 10 e troviamo 1024. Ed è proprio
45 = (22)5 = 210 = 1024
Questo metodo sarebbe interessante soltanto se potesse essere usato con qualsiasi numero, intero o fratto. Ma per fare questo dobbiamo scegliere come base un numero sufficientemente piccolo in modo che le sue potenze crescano abbastanza lentamente.
Per mantenere molto vicini tra loro i termini di una progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come numero dato una cifra molto vicina all’uno. Dopo anni di tentativi , Napier si decise per il numero 0,9999999, ovvero 1 – 10-7. La scelta di Napier fu dettata dalla necessità di usare il meno possibile frazioni decimali. In generale, le frazioni erano ovviamente in uso da migliaia di anni, ma venivano quasi sempre scritte semplicemente come rapporto di numeri interi. Le frazioni decimali – l’estensione del nostro sistema di numerazione decimale ai numeri inferiori a 1 – erano state introdotte soltanto poco tempo prima in Europa (da Simon Stevin, 1548 – 1620), e non erano ancora molto in uso. Con la scelta del numero 1 – 10-7 i termini della progressione geometrica delle potenze crescenti sono effettivamente vicini tra loro. Per ottenere maggiore equilibrio e per evitare cifre decimali Napier moltiplicò ciascuna potenza per 107 . Ossia, se N = 107(1 – 10-7)L , allora L è il logaritmo neperiano del numero N.
A questo punto si prefisse il compito di trovare, con noiose sottrazioni ripetute, i termini della sua progressione. Questo deve essere stato sicuramente uno dei compiti meno piacevoli che uno scienziato potesse affrontare, ma Napier se ne fece carico, dedicando vent’anni della sua vita, dal 1594 al 1614, per completare il lavoro. La sua tavola iniziale comprendeva soltanto 101 valori, poi Napier ripeté questo procedimento diverse volte ottenendo una seconda tavola contenente 51 valori, poi una terza tavola contenente 21 valori e infine da ciascun valore di quest’ultima tavola Napier creo 69 ulteriori valori. Certo, oggi un tale lavoro spetterebbe al computer, perfino una calcolatrice tascabile potrebbe svolgere questo lavoro in poche ore. Ma Napier fu obbligato a svolgere tutti i suoi calcoli soltanto con carta e penna. E si può quindi capire la sua intenzione di ridurre al minimo l’uso delle frazioni decimali. Come egli stesso scrisse:
“Nel costruire questa progressione [i valori della seconda tabella], poiché il rapporto tra 10 000 000 ,00000, il primo della seconda tavola, e 9 995 001,222927, l’ultimo della medesima, è complicato, allora calcola i 21 numeri nel rapporto più semplice di 10 000 a 9 995, che è sufficiente come approssimazione. L’ultimo di questi, se non avrai fatto errori, sarà 9 900 473,57808”.
Dopo aver finito questo lavoro grandioso, a Napier non restava che battezzare la sua creazione. Dapprima chiamò l’esponente di ogni potenza il suo “numero artificiale”, ma più tardi decise di adottare il termine logaritmo, parola di origine greca che significa “rapporto numerico”.
La definizione di logaritmo, data da Napier, differisce sotto molti aspetti dalla definizione moderna. Queste differenze sono il risultato dell’insistenza di Nepero per la semplificazione dalle frazioni decimali.
Nepero, infatti, senza rendersene conto arrivò a un soffio dalla scoperta di un numero che, un secolo più tardi, sarebbe stato riconosciuto come base universale dei logaritmi e che avrebbe giocato in matematica un ruolo importante, secondo soltanto a . Questo numero, e, è il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito.
Supponiamo di voler moltiplicare 4 per 8. Vediamo dalla tabella che gli esponenti corrispondenti a questi due numeri sono rispettivamente 2 e 3. Sommando questi esponenti otteniamo 5. Ora procediamo in senso inverso, cercando il numero al quale corrisponde l’esponente 5. Questo numero è 32 e questa è la nostra risposta.
Come secondo esempio, pensiamo di voler calcolare 45. Cerchiamo l’esponente corrispondente a 4, cioè 2 e moltiplichiamolo ora per 5, ottenendo 10. Cerchiamo poi il numero corrispondente a 10 e troviamo 1024. Ed è proprio
45 = (22)5 = 210 = 1024
Questo metodo sarebbe interessante soltanto se potesse essere usato con qualsiasi numero, intero o fratto. Ma per fare questo dobbiamo scegliere come base un numero sufficientemente piccolo in modo che le sue potenze crescano abbastanza lentamente.
Per mantenere molto vicini tra loro i termini di una progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come numero dato una cifra molto vicina all’uno. Dopo anni di tentativi , Napier si decise per il numero 0,9999999, ovvero 1 – 10-7. La scelta di Napier fu dettata dalla necessità di usare il meno possibile frazioni decimali. In generale, le frazioni erano ovviamente in uso da migliaia di anni, ma venivano quasi sempre scritte semplicemente come rapporto di numeri interi. Le frazioni decimali – l’estensione del nostro sistema di numerazione decimale ai numeri inferiori a 1 – erano state introdotte soltanto poco tempo prima in Europa (da Simon Stevin, 1548 – 1620), e non erano ancora molto in uso. Con la scelta del numero 1 – 10-7 i termini della progressione geometrica delle potenze crescenti sono effettivamente vicini tra loro. Per ottenere maggiore equilibrio e per evitare cifre decimali Napier moltiplicò ciascuna potenza per 107 . Ossia, se N = 107(1 – 10-7)L , allora L è il logaritmo neperiano del numero N.
A questo punto si prefisse il compito di trovare, con noiose sottrazioni ripetute, i termini della sua progressione. Questo deve essere stato sicuramente uno dei compiti meno piacevoli che uno scienziato potesse affrontare, ma Napier se ne fece carico, dedicando vent’anni della sua vita, dal 1594 al 1614, per completare il lavoro. La sua tavola iniziale comprendeva soltanto 101 valori, poi Napier ripeté questo procedimento diverse volte ottenendo una seconda tavola contenente 51 valori, poi una terza tavola contenente 21 valori e infine da ciascun valore di quest’ultima tavola Napier creo 69 ulteriori valori. Certo, oggi un tale lavoro spetterebbe al computer, perfino una calcolatrice tascabile potrebbe svolgere questo lavoro in poche ore. Ma Napier fu obbligato a svolgere tutti i suoi calcoli soltanto con carta e penna. E si può quindi capire la sua intenzione di ridurre al minimo l’uso delle frazioni decimali. Come egli stesso scrisse:
“Nel costruire questa progressione [i valori della seconda tabella], poiché il rapporto tra 10 000 000 ,00000, il primo della seconda tavola, e 9 995 001,222927, l’ultimo della medesima, è complicato, allora calcola i 21 numeri nel rapporto più semplice di 10 000 a 9 995, che è sufficiente come approssimazione. L’ultimo di questi, se non avrai fatto errori, sarà 9 900 473,57808”.
Dopo aver finito questo lavoro grandioso, a Napier non restava che battezzare la sua creazione. Dapprima chiamò l’esponente di ogni potenza il suo “numero artificiale”, ma più tardi decise di adottare il termine logaritmo, parola di origine greca che significa “rapporto numerico”.
La definizione di logaritmo, data da Napier, differisce sotto molti aspetti dalla definizione moderna. Queste differenze sono il risultato dell’insistenza di Nepero per la semplificazione dalle frazioni decimali.
Nepero, infatti, senza rendersene conto arrivò a un soffio dalla scoperta di un numero che, un secolo più tardi, sarebbe stato riconosciuto come base universale dei logaritmi e che avrebbe giocato in matematica un ruolo importante, secondo soltanto a . Questo numero, e, è il limite di (1 + i/n)n per n tendente all’infinito.
1 commento:
Mi è parso un tema molto bello quello che hai trattato, soprattutto considerando che tutte le persone che studiano matematica utilizzano il numero di Nepero senza sapere da dove provenga: finalmente un po' di storia!!!
Brava
Claudia
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