Legge di capitalizzazione composta

Classe a cui è diretta l'U.D.

Parlare del numero e ed in particolare delle sue radici storiche ci permette di introdurre un argomento della metematica finanziaria che solitamente viene trattato in modo schematico e poco piacevole: la legge di capitalizzazione composta la quale viene insegnata nella classe terza degli istituti Tecnico Commerciali.

Finalità

Lobiettivo dell'U.D. è riuscire a far ragionare lo studente sulle problematiche reali che hanno portato allo sviluppo delle leggi finanziarie. Di far comprendere ciò che cercano di risolvere e di non vedere la matematica finanziaria come un insieme di formule senza un perchè!

Tempi

L’unità didattica richiede un tempo di svolgimento di 2 ore.

Contenuti

Esaminiamo come funziona la legge della capitalizzazione composta, lasciando però alla fine non una certezza ma una domanda in modo tale che lo studente rimanga curioso di scoprire ancora nuove vicende che riguardano il nostro famoso numero e.

Supponiamo di investire 100€ (capitale) in un conto che paga il 5% di interesse composto annualmente. Alla fine dell’anno il nostro montante sarà 100x1.05=105€. La banca considererà il montante ottenuto, come il nuovo capitale che verrà rinvestito allo stesso tasso. Alla fine del secondo anno avremo 105x1.05=110.25€, alla fine del terzo anno 110.25x1.05=115.76€ e così via.
Vediamo così che il montante cresce in una progressione geometrica di ragione 1.05. Al contrario, in un conto che paga solo l’interesse semplice annuale del 5% applicato al capitale di 100€, aumenterà di 5€ dandoci la progressione aritmetica 100, 105, 110, 115 e così via. Chiaramente il capitale investito a tasso d’interesse composto cresce più velocemente rispetto a quello investito a tasso d’interesse semplice. Da questo esempio è facile vedere cosa succede nel caso generale.
Supponiamo di investire P euro in un conto che paga r% di interesse composto annualmente. Questo significa che alla fine del primo anno il nostro bilancio sarà di P(1+r), alla fine del secondo anno sarà P(1+r)2, e così via; dopo t anni il montante sarà P(1+r)t. Indicando il montante con S, arriviamo alla formula:

S=P(1+r)t

Questa formula è alla base di tutti i calcoli finanziari. Proviamo a calcolare l’interesse per più periodi l’anno. Ad esempio se il tasso d’interesse annuale del 5% è composto semestralmente, il tasso del periodo sarà metà del tasso d’interesse annuale. Così in un anno il capitale di 100€ sarà composto due volte, ogni volta con tasso 2.5%; questo ammonterà a 100x1.0252 =105.0625€, circa 6 centesimi di più rispetto a quello che otterremmo con l’interesse composto annualmente.
Nel settore bancario troviamo tutti gli schemi possibili dell’interesse: annuale, semestrale, trimestrale, settimanale, anche giornaliero.
Supponiamo che il calcolo sia fatto n volte l’anno, per ogni periodo di conversione la banca usa l’interesse annuale diviso per n: r/n. Durante t anni ci saranno nt periodi di conversione, e il capitale dopo t anni sarà uguale al montante:

S=P(1+r/n)nt

Può essere interessante comparare l’ammontare di denaro che un capitale produce dopo un anno usando differenti periodi di conversione, assumendo un uguale interesse annuale. Prendiamo come esempio P=100€ e r=5%, come possiamo vedere nella tabella 1 il capitale di 100€ calcolato giornalmente ci dà 13 centesimi di più rispetto di uno composto annualmente.

Tabella 1. Investimento per 1 anno all’interesse annuo del 5%
a differenti periodi di conversione

Per approfondire questa questione, consideriamo un caso speciale dell’equazione 2, il caso in cui r=1. questo vuol dire che l’interesse annuale è del 100%, (sicuramente nessuna banca ci farà una così generosa offerta!). Assumiamo che P=1€ e t=1 anno. L’equazione diventa:

S=(1+1/n)n

Vediamo come varia al variare di n.

Tab. 2.variazione del montante
al variare di n

Sembra che qualsiasi ulteriore incremento in n difficilmente varierà il risultato, le variazioni saranno sempre meno significative.
Ma questo andamento continuerà andando avanti? E’ possibile che non influisca quanto grande sia n, il valore di (1+1/n)n sarà sempre vicino al numero 2.71828?
Non sappiamo chi per primo abbia notato la peculiarità dell’espressione (1+1/n)n con n che va a infinito, quindi la data di nascita del numero che verrà chiamato più tardi con e rimane oscura.

Radici storiche

Il numero e è un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni; per lo studio, ad esempio, del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici. Partiremo dalle radici storiche di questo numero, dalle sue applicazioni a problemi economici, dai primi che si sono chiesti quale sia il miglior investimento di un capitale, come questo possa aumentare nel tempo, e quale interesse ne avrebbero potuto ricavare. Far fruttare il denaro è una preoccupazione antica, che risale alle origini del pensiero matematico. Ecco un problema riportato su una tavoletta babilonese , conservata al Louvre di Parigi, del 1700 a. C.:

“Quanto tempo ci vorrà – chiede l’anonimo autore – perché una certa somma di denaro raddoppi, se ogni anno aumenta del 20%?”

Formulando questo problema con il linguaggio dell’algebra, notiamo che alla fine di ogni anno la somma aumenta del 20%, cioè di un fattore 1.2; quindi dopo x anni la somma sarà uguale 1.2X. Se dovrà uguagliare il doppio della somma originale, avremo 1.2X =2.
Per risolvere questa equazione, dobbiamo usare i logaritmi, che i babilonesi non conoscevano, tuttavia furono in grado di ottenere una soluzione approssimata osservando che 1,23 = 1,728 e 1,24 = 2,0736, poterono affermare che 3 < x =" 3,8018.">

Introduzione

La matematica proprio come la musica può stimolare e alimentare un modo supremo del pensiero, ampliando la felicità di coloro che la creano o la capiscono. Le equazioni possono essere paragonate alla poesia; come la poesia ci aiuta a sondare i misteri dell'invisibile e i margini dell'universo.

La scoperta dei numeri ha rivoluzionato la vita degli uomini, i numeri infatti non sono una invenzione dell’umanità, ma sono una scoperta. I numeri sono un linguaggio che tutti noi utilizziamo ogni giorno della nostra vita.

Tra tutti i numeri fino ad ora scoperti alcuni sono di una bellezza e di una perfezione quasi non comprensibili. Tra questi numeri troviamo il numero di Nepero o di Eulero, il numero e!

Una volta pensavamo che conoscendo uno avremmo conosciuto due, perché uno e uno fanno due. Ora scopriamo che abbiamo ancora molto da imparare a proposito di «e».

Sir Arthur Eddington (1882-1944)